ฟังก์ชัน

ความหมายของฟังก์ชัน 

บทนิยาม     ฟังก์ชัน  คือ ความสัมพันธ์ซึ่งสำหรับคู่อันดับสองคู่อันดับใดๆในความสัมพันธ์

      ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากัน                                                                                                                           

ตัวอย่างที่  1      จงพิจารณาความสัมพันธ์   r   ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

               1.    r     =     { ( 1,1 )  ,  ( -1,1 )  ,  ( 2, 2 )  ,  ( -2, 2 )  ,  (3, 3 )  ,  ( -3, 3 ) }

               2.    r     =     { ( -2, 1 )  ,  ( -1, 0 )  ,  ( 1, 1 )  ,  ( 2, 1 )  ,  ( 1, -1 ) }

วิธีทำ

1        ในความสัมพันธ์  r  จะพบว่าไม่มีสองคู่อันดับใดที่มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน  แล้วสมาชิกตัวหลังไม่เท่ากัน  

ดังนั้น   r   จึงเป็นฟังก์ชัน

2        ความสัมพันธ์   r มีคู่อันดับ  ( 1, 1 )  r  และ  ( 1, -1 )  r  ซึ่งเป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน   ( คือ 1 )  แต่สมาชิกตัวหลังไม่เท่ากัน

ดังนั้น   r   จึงไม่เป็นฟังก์ชัน

หมายเหตุ     ถ้าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปบอกเงื่อนไข  เช่น

           r   =  {(x , y)  R  R  | 2x + y  =  1}

          การตรวจสอบดูว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่  โดยไม่ต้องแจกแจงคู่อันดับ  ทำได้ดังนี้

  

   วิธีที่ 1     ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x , y)  และมีเงื่อนไข  r(x , y)   แล้ว

                 ให้นำเงื่อนไข  r(x , y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน  y   ในรูปของ  x 

           1.    ถ้าแต่ละค่าของ  x  หาค่า  y  ได้เพียงค่าเดียว  สรุปได้ว่า   r   เป็นฟังก์ชัน

           2.    ถ้าแต่ละค่าของ  x  ที่ทำให้หาค่า  y  ได้มากกว่า 1  ค่า    สรุปได้ว่า  r   ไม่เป็นฟังก์ชัน

         

ตัวอย่างที่ 2    กำหนดความสัมพันธ์  r   =  {(x , y)  R  R  |  2x + y  =  1 }    r   เป็นฟังก์ชัหรือไม่

วิธีทำ                    เงื่อนไข  r  คือ                           2x + y  =  1

              เขียน  y  ในรูปของ  x  จะได้              y  =   1 - 2x

            จะพบว่าแต่ละค่าของ  x  จะให้ค่า  y  เพียงค่าเดียวเท่านั้น

                            แสดงว่า  r  เป็นฟังก์ชัน     ###

วิธีที่ 2     เมื่อกำหนดความสัมพันธ์  r  ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x , y)  และมีเงื่อนไข  r(x , y)   สมมุติ (x , y)   r  และ (x , z)  r  ดังนั้นได้เงื่อนไข  r(x , y)   และ  r(x , z)

            1.      ถ้าสามารถแสดงได้ว่า    y  =   z     ทุกๆ x ใดๆ   แล้ว    r    เป็นฟังก์ชัน

            2.      ถ้ามีกรณีที่  y     z     แล้ว   r     จะไม่เป็นฟังก์ชัน                  

                                    

ตัวอย่างที่  3    กำหนดความสัมพันธ์  r  =  {(x , y)  R  R | 5x + y  =  2}  แล้ว r  เป็นฟังก์ชันหรือไม่

วิธีทำ      ให้  (x , y)  r       และ        (x , z)    r      ดังนั้น

                                                            5x  + y      =    2  ………………………………  ( 1 )

                                                          5x  +  z     =    2  ………………………………  ( 2 )

               ดังนั้น                                   5x  +  y     =    5x  +  z

                แสดงว่า                       y      =    z

                เพราะฉะนั้น          r      เป็นฟังก์ชัน          ###